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Les travaux ci-dessous ont été obtenus dans le cadre de ma thèse au Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique (LMBA) sur le site de Vannes de l'Université de Bretagne Sud (UBS). Ma thèse s'intitule « Théorèmes Limites pour des marches aléatoires markoviennes conditionnées à rester positives » et s'est effectuée sous la direction du Professeur Ion Grama et du Professeur émérite Emile Le Page.

Voici une version intégrale de ma thèse :
Théorèmes limites pour des marches aléatoires markoviennes conditionnées à rester positives.

En bref

En quelques mots, j'ai travaillé sur des marches aléatoires réelles. J'ai cherché à montrer d'une part que la probabilité que la marche reste dans la demi-droite des réels strictement positifs, a un asymptotique, quand le temps tend vers l'infini, égal à une constante (que l'on détermine) divisée par la racine carrée du temps et d'autre part j'ai cherché à montrer que le processus lorsqu'il est conditionné à rester positif (et convenablement renormalisé) converge (non plus vers la loi normale du TCL mais) vers la loi de Rayleigh. Ces résultats sont déjà connus lorsque les accroissements de la marche sont indépendants et identiquement distribués. Mes travaux ont consisté à étendre ces résultats pour des marches dont les accroissements forment une chaîne de Markov (lorsque le présent dépend du passé).

C'est l'objet des deux premiers articles en prépublication ci-dessous. Le premier traite d'une marche dont les accroissements sont une chaîne de Markov, chaîne elle-même construite par transformation affine, ce que l'on appelle la récursion stochastique. Le second généralise globalement le premier article en établissant les résultats pour une famille assez large de chaînes de Markov (celles avec un trou spectral impliquant que la dépendance de la chaîne par rapport à l'état initial décroit rapidement).

En dernière année de thèse, j'ai rafiné mes résultats lorsque la chaîne de Markov prend un nombre fini de valeurs. La marche a tendance à prendre des valeurs qui s'étalent aux alentours de la racine carré du temps. Le théorème local que nous (avec mes directeurs) démontrons, estime asymptotiquement la probabilité que la marche reste positive tout en atterissant dans un intervalle de longueur fixée. Ce résultat nous permet également de calculer asymptotiquement la probabilité que possède une population, soumise à un milieu qui est une chaîne de Makov avec un nombre fini de valeurs, de survivre dans les cas où la population n'a pas tendance à exploser c'est-à-dire constitue un processus de branchement critique ou sous-critique en milieu markovien fini. Ces travaux font l'objet des deux derniers articles ci-dessous.

Ma soutenance s'est déroulée le 8 septembre 2017 en présence du jury suivant :

• Professeur émérite Yves GUIVARC'H, président du jury, Université de Rennes 1
• Professeur émérite Philippe BOUGEROL, rapporteur du jury, Université de Paris 6
• Professeur Vitali WACHTEL, rapporteur du jury, Université d'Augsbourg
• Professeur Quansheng LIU, membre du jury, Université de Bretagne Sud
• Professeur Marc PEIGNE, membre du jury, Université de Tours
• Professeure Françoise PENE, membre du jury, Université de Bretagne Occidentale
• Professeur Ion GRAMA, directeur de thèse, Université de Bretagne Sud
• Professeur émérite Emile LE PAGE, directeur de thèse, Université de Bretagne Sud

Articles

• I. Grama, R. Lauvergnat and E. Le Page,
  Limit theorems for affine Markov walks conditioned to stay positive,
  arXiv:1601.02991 [math], January 2016.
  → Publié aux Annales de l'Institut Henri Poincaré B, Probability and Statistics.
• I. Grama, R. Lauvergnat and E. Le Page,
  Limit theorems for Markov walks conditioned to stay positive under a spectral gap assumption,
  arXiv:1607.07757 [math], July 2016.
  → Accepté dans Annals of Probability, publication à venir.
• I. Grama, R. Lauvergnat and E. Le Page,
  Conditioned local limit theorems for random walks defined on finite Markov chains,
  arXiv:1707.06129 [math], July 2017.
  → Accepté dans Stochastic Processes and their Applications, publication à venir.
• I. Grama, R. Lauvergnat and E. Le Page,
  The survival probability of critical and subcritical branching processes in finite state space Markovian environment,
  arXiv:1708.00233 [math], August 2017.
  → En soumission.

Diaporamas associés

Voici quelques illustrations de ces résultats dans des diaporamas qui m'ont servi de support pour mes présentations.
Aux journées des probabilités à Toulouse en mai 2015 : beamer.
Aux rencontres doctorales Lebesgue à Nantes en octobre 2015 : beamer.
Aux séminaires des doctorants de Rennes (Gaussbusters) en novembre 2015 : beamer.
A une réunion d'équipe à Quimper en février 2016 : beamer.